\chapter{威尔逊云室$\alpha$和$\beta$粒子实验及其数据验证方法}
\author{李国斌}
\date{2025年8月29日-9月13日}

\subsection{$\alpha$粒子实验}

\subsubsection{$\alpha$粒子的基本特性}
$\alpha$粒子是氦原子核（\ce{^4_2He^{2+}}），具有以下特征：
\begin{itemize}
	\item 质量数：4
	\item 电荷：+2e
	\item 典型能量：4-9 MeV
	\item 射程短，电离能力强
\end{itemize}

\subsubsection{卢瑟福散射实验验证}
利用云室观察$\alpha$粒子的金箔散射，验证卢瑟福公式：
\begin{equation}
	\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{Z_1 Z_2 e^2}{8\pi\epsilon_0 E_\alpha}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}
\end{equation}

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
		% 金箔
		\draw[fill=yellow!20] (-3,0) rectangle (3,0.1);
		\node at (0,-0.2) {金箔};
		
		% $\alpha$粒子源
		\draw[fill=red] (-4,0) circle (0.2);
		\node at (-4,-0.5) {$\alpha$源};
		
		% $\alpha$粒子轨迹
		\foreach \angle in {-30,-20,-10,0,10,20,30} {
			\draw[thick, red, ->] (-4,0) -- ++(\angle:2);
			\draw[thick, red, ->] (0,0.1) -- ++(\angle:3);
		}
		
		% 散射角标注
		\draw[->] (1,1) arc (0:20:1);
		\node at (1.5,1.2) {$\theta$};
		
		% 探测器位置
		\draw[fill=blue!20] (4,2) circle (0.3);
		\node at (4,2.5) {云室};
	\end{tikzpicture}
	\caption{$\alpha$粒子金箔散射实验示意图}
	\label{fig:alpha_scattering}
\end{figure}

\subsubsection{$\alpha$粒子射程测量}
在云室中测量$\alpha$粒子的射程与能量关系：
\begin{equation}
	R = k E_\alpha^{3/2}
\end{equation}
其中$k$为介质相关的常数。

\subsubsection{具体实验结果}
\begin{table}[htbp]
	\centering
	\caption{$\alpha$粒子在空气中的射程测量结果}
	\label{tab:alpha_range}
	\begin{tabular}{ccc}
		\toprule
		\textbf{$\alpha$源} & \textbf{能量 (MeV)} & \textbf{射程 (cm, STP)} \\
		\midrule
		\ce{^{210}Po} & 5.30 & 3.84 \\
		\ce{^{226}Ra} & 4.78 & 3.30 \\
		\ce{^{241}Am} & 5.48 & 4.04 \\
		\ce{^{244}Cm} & 5.80 & 4.70 \\
		\bottomrule
	\end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{电离密度测量}
$\alpha$粒子产生高密度电离，云室中显示粗而直的轨迹：
\begin{equation}
	\frac{dN_{\text{离子对}}}{dx} \propto \frac{z^2}{E} \ln\left(\frac{2m_ev^2}{I}\right)
\end{equation}

\subsection{$\beta$粒子实验}

\subsubsection{$\beta$粒子的基本特性}
$\beta$粒子是高速电子（$\beta$⁻）或正电子（$\beta$⁺），具有：
\begin{itemize}
	\item 质量轻，容易偏转
	\item 连续能谱分布
	\item 电离能力较弱
	\item 易受磁场影响
\end{itemize}

\subsubsection{$\beta$粒子能谱研究}
云室可用于研究$\beta$衰变的连续能谱：
\begin{equation}
	N(E)dE = k F(Z,E) p E (E_0 - E)^2 dE
\end{equation}
其中$F(Z,E)$为费米函数。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
		% 磁场方向
		\foreach \y in {0,0.5,1.0,1.5,2.0,2.5} {
			\draw[->] (-0.2,\y) -- (0.2,\y);
		}
		\node at (0,3) {$\vec{B}$};
		
		% $\beta$源
		\draw[fill=blue] (0,0) circle (0.2);
		\node at (0,-0.5) {$\beta$源};
		
		% $\beta$粒子轨迹（连续能量）
		\foreach \r in {0.5,0.7,0.9,1.1,1.3} {
			\draw[thick, blue, ->] (0,0) .. controls (1,\r) and (1.5,2*\r) .. (2,3);
			\draw[thick, red, ->] (0,0) .. controls (-1,\r) and (-1.5,2*\r) .. (-2,3);
		}
		
		% 曲率标注
		\draw[dashed] (1,0.7) arc (30:60:1);
		\node at (1.3,1.2) {$r$};
		\node at (2,3.3) {$\beta$⁻};
		\node at (-2,3.3) {$\beta$⁺};
	\end{tikzpicture}
	\caption{$\beta$粒子在磁场中的轨迹示意图}
	\label{fig:beta_magnetic}
\end{figure}

\subsubsection{$\beta$粒子最大能量测定}
通过磁场中最大曲率半径测量$\beta$粒子最大能量：
\begin{equation}
	E_{\text{max}} = \sqrt{(pc)^2 + (m_ec^2)^2} - m_ec^2
\end{equation}
\begin{equation}
	p = eBr_{\text{max}}
\end{equation}

\subsubsection{具体实验数据}
\begin{table}[htbp]
	\centering
	\caption{常见$\beta$放射体的最大能量测量}
	\label{tab:beta_max_energy}
	\begin{tabular}{ccc}
		\toprule
		\textbf{$\beta$源} & \textbf{最大能量 (MeV)} & \textbf{半衰期} \\
		\midrule
		\ce{^{3}H} & 0.0186 & 12.32年 \\
		\ce{^{14}C} & 0.156 & 5730年 \\
		\ce{^{32}P} & 1.710 & 14.29天 \\
		\ce{^{90}Sr} & 0.546 & 28.79年 \\
		\ce{^{90}Y} & 2.280 & 64小时 \\
		\ce{^{210}Bi} & 1.161 & 5.01天 \\
		\bottomrule
	\end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{$\beta-\gamma$符合测量}
利用云室研究$\beta$衰变后的$\gamma$射线发射：
\begin{equation}
	I_\beta(E) \propto \int_0^{E_0} N(E) \epsilon(E) dE
\end{equation}

\subsection{$\alpha$与$\beta$粒子的对比研究}

\subsubsection{轨迹特征对比}
\begin{table}[htbp]
	\centering
	\caption{$\alpha$与$\beta$粒子在云室中的轨迹特征对比}
	\label{tab:alpha_beta_comparison}
	\begin{tabular}{p{0.3\textwidth}p{0.3\textwidth}p{0.3\textwidth}}
		\toprule
		\textbf{特征} & \textbf{$\alpha$粒子} & \textbf{$\beta$粒子} \\
		\midrule
		轨迹形状 & 直而粗 & 弯曲而细 \\
		电离密度 & 高（$\sim10^4$离子对/cm） & 低（$\sim10^2$离子对/cm） \\
		磁场响应 & 几乎无偏转 & 明显偏转 \\
		射程 & 短而确定 & 长而变化 \\
		能量分布 & 单能 & 连续能谱 \\
		多次散射 & 不明显 & 非常明显 \\
		\bottomrule
	\end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{电离损失对比}
根据贝特-布洛赫公式：
\begin{equation}
	-\frac{dE}{dx} = Kz^2\frac{Z}{A}\frac{1}{\beta^2}\left[\ln\frac{2m_ec^2\beta^2\gamma^2T_{\text{max}}}{I^2} - 2\beta^2\right]
\end{equation}

对于$\alpha$粒子（$z=2$）和$\beta$粒子（$z=1$），电离损失比约为：
\begin{equation}
	\frac{(dE/dx)_\alpha}{(dE/dx)_\beta} \approx 4 \frac{\ln(2m_ec^2\beta^2\gamma^2/I^2)_\alpha}{\ln(2m_ec^2\beta^2\gamma^2/I^2)_\beta}
\end{equation}

\subsection{实验验证方法}

\subsubsection{$\alpha$粒子实验验证}
\begin{enumerate}
	\item \textbf{射程-能量关系验证}：测量不同能量$\alpha$粒子的射程，验证Geiger公式
	\item \textbf{散射角分布验证}：统计散射角分布，验证卢瑟福公式
	\item \textbf{电离密度测量}：通过液滴密度测量电离强度
	\item \textbf{绝对计数验证}：与电离室结果对比
\end{enumerate}

\subsubsection{$\beta$粒子实验验证}
\begin{enumerate}
	\item \textbf{能谱形状验证}：验证费米理论预测的能谱形状
	\item \textbf{最大能量测定}：通过磁场曲率测量$E_{\text{max}}$
	\item \textbf{动量测量验证}：$p = 0.3Br$公式验证
	\item \textbf{统计分布检验}：使用$\chi^2$检验能谱分布
\end{enumerate}

\subsubsection{交叉验证技术}
\begin{itemize}
	\item \textbf{符合测量}：$\beta$-$\gamma$符合测量验证衰变纲图
	\item \textbf{能量校准}：使用已知能量的$\alpha$源进行校准
	\item \textbf{多重测量}：不同磁场强度下的重复测量
	\item \textbf{独立验证}：与闪烁计数器、半导体探测器结果对比
\end{itemize}

\subsection{重要科学发现}

\subsubsection{$\alpha$粒子实验的贡献}
\begin{itemize}
	\item 验证了原子核结构理论
	\item 证实了卢瑟福散射公式
	\item 测量了核反应Q值
	\item 研究了$\alpha$衰变的量子隧穿效应
\end{itemize}

\subsubsection{$\beta$粒子实验的贡献}
\begin{itemize}
	\item 证实了$\beta$衰变的连续能谱
	\item 支持了中微子假说
	\item 验证了弱相互作用的V-A理论
	\item 测量了核素的质量差
\end{itemize}

\subsection{现代重新分析}

\subsubsection{数字化重分析结果}
通过对历史照片的数字化分析，获得了更精确的数据：
\begin{equation}
	\sigma_{\text{新}} = \frac{\sigma_{\text{旧}}}{2.5 \pm 0.3}
\end{equation}

\subsubsection{蒙特卡罗模拟验证}
使用GEANT4模拟$\alpha$和$\beta$粒子在云室中的行为：
\begin{equation}
	\chi^2_{\text{red}} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{(O_i - E_i)^2}{\sigma_i^2} < 1.2
\end{equation}

\subsection{结论}

$\alpha$和$\beta$粒子在威尔逊云室中的实验研究为核物理学的发展做出了重要贡献：

\begin{itemize}
	\item 提供了原子核结构的直接证据
	\item 验证了量子力学的基本预言
	\item 支持了新粒子的发现和鉴定
	\item 发展了粒子探测和数据分析的方法学
\end{itemize}

这些实验不仅具有历史意义，其验证方法学对现代粒子物理实验仍然具有指导价值。通过严谨的实验设计和多重验证手段，威尔逊云室产生的科学结果经受住了时间的考验，成为物理学史上的经典实验。
